Reto 2: Fibonacci

¿Qué fenómenos o situaciones se describen con los datos que arroja esta
sucesión?

Los números de Fibonacci aparecen en sin fin de aplicaciones de
diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas,
al contar el número de cadenas de bits de longitud "n" que no tienen ceros
consecutivos.

En cuanto a la primera pregunta sobre los fenómenos que se
podían observar con respecto a la sucesión de los datos que arroja la sucesión
se pueden observar los siguientes:

F_n = F_(n-1) +
F_(n-2)

F₀ = 0
F₁ = 1

F₂ = F₀ + F₁ = 1
F₃ =
F₁ + F₂ =1+ 1 =2
F₄ = F₃ +
F₂ = 2 +1 = 3
F₅ = F₄ + F₃ = 3 +
2 = 5
F₆ = F₅ + F₄ = 5 + 3 = 8

F₇ = F₆ + F₅ = 8 + 5 = 13
F₈
= F₇ + F₆ = 13 + 8 = 21
F₉ = F₈
+ F₇ = 21 + 13 = 34
F₁₀ = F₉ +
F₈ = 34 + 21 = 55

*** Cualquier número natural se puede
escribir con la suma de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos
distinto. Por ejemplo, 20 = 13 + 5 + 2.

*** Solo un término de cada tres
es par, uno de cada cuatro es múltiplo de tres, uno de cada cinco es múltiplo de
cinco y así sucesivamente.

*** Si F_n = b, tal que b es un
numero, siempre se cumple que n también es un numero primo con la única
excepción de F₄ =3.

*** La suma de cada diez números
consecutivos de esta sucesión, es siempre once veces superior al séptimo número
de esta sucesión.

Buscando Formula Explicita

F_n = F_(n-1) +
F_(n-2)
F₀ = 0
F₁ = 1

Solucion: de orden 2

F_n - F_(n-1) -
F_(n-2) = 0
x² - x -1 = 0

Solucion 2:
^(1+√5)/₂

Solucion 1: ^(1-√5)/₂

Formula Explicita

F_n =
A*(^(1-√5)/₂)ⁿ +
B*(^(1+√5)/₂)ⁿ

1. Para F₀ = 0
A*(^(1-√5)/₂)⁰ +
B*(^(1+√5)/₂)⁰ = 0
A + B = 0



2. Para F₁ = 1
A*(^(1-√5)/₂)¹ +
B*(^(1+√5)/₂)¹ =
1
A*(^(1-√5)/₂) + B*(^(1+√5)/₂) =
1

Resolver

A + B = 0
A*(^(1-√5)/₂) +
B*(^(1+√5)/₂) = 1

A = 1√5
B = -1√5

.: La
formula explicita es:
F_n =
(1√5)*(^(1-√5)/₂)ⁿ +
(-1√5)*(^(1+√5)/₂)ⁿ

^Bibliografia

www.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/documents/vol_21/21_3_FibonnacciFinal2.pdf