Reto1: Una leyenda árabe

HISTORIA

Cuenta una leyenda árabe que Abdel Salam y Al-Mustafá,
dos comerciantes persas, regresaban de un viaje de negocios realizados en
tierras lejanas a su aldea de residencia, en compañía de otros comerciantes.
Las personalidades de ambos personajes eran muy diferentes: Salam le gustaba
presumir de su riqueza y era avaricioso, mientras que Mustafá era más callado y
analítico, pendiente de la escucha.

Todas las noches durante el período de regreso, se
sentaban los grupos de comerciantes alrededor de una fogata para compartir
anécdotas, pero Salam, no hacía otra cosa más que presumir su riqueza aludiendo
al hecho de que no había comerciante alguno que tuviese su riqueza, mientras
que Mustafá se mantenía callado. Durante la última noche previo a su llegada a
Persia, Mustafá tomó la palabra y dijo: soy tan rico que estoy en capacidad de
regalar parte de mi fortuna a quien desee, sin que eso afecte mis finanzas,
podría inclusive regalarle ese dinero al más rico de Persia (incluyendo a
Salam) y aún así, este nunca me podría igualar.

Salam empezó a enfadarse de envidia, pero, seguía escuchando. Continuó Mustafá
diciendo: para celebrar mi llegada a Persia, he decidido obsequiar durante un
mes, la suma de $100 000 por día hasta llegar al día 31.



Salam, con su buen olfato para los negocios, no negó en ofrecerse como
voluntario para albergar dicha fortuna, ofreciendo su incondicional amistad de
por vida a Mustafá y que además, estaría dispuesto a cumplir cualquier favor.
Entonces, Mustafá le dijo: acepto tu ofrecimiento, pero a cambio te pido lo
siguiente, el primer día cuando vengas por los $100 000, deberás pagarme un
centavo, el segundo día te llevarás otros $100 000 y me pagarás 2 centavos,
similarmente al tercer día me pagarás 4 centavos, y así sucesivamente hasta
llegar al trigésimo primer día. Salam le extrañó la petición de Mustafá, pero,
al ver la ridícula cantidad que tenía que pagar en comparación con lo recibido,
aceptó el trato.



Esa noche Salam no pudo conciliar el sueño, pensando en la cantidad de dinero
que estaría recibiendo durante los siguientes 31 días.

Fórmula para sacar la ganancia de salam

A₁ = 100 000



A₂ = 100 000 + 100 000



A_n = 100 000+ 100 000 +….+100 000 = 100 000*n



Sea P(n) = 100 000+ 100 000 +….+100 000 = 100 000*n y S= (n ∈ IN/ P(n) es
cierta)

1. ¿1 ∈ S?

100 000 = 100 000 * n

100 000 = 100 000 * 1

100 000 = 100 000

.: 1 ∈ S

2. Sup. que se cumple que n = k es
   decir:

100 000+ 100 000 +….+100 000 = 100 000K

3. Hqd que se cumple que n = k+1
   es decir:

100 000 +
100 000 +...+ 100 000 + 100 000 = 100 000(K+1) = 100 000K + 100 000



Tenemos:

100 000 + 100 000 +...+ 100 000 + 100 000

= 100 000K +100 000

.: S = IN

Modelo de la formulá recursiva para las ganancias de
mustafa por parte de salam

A₁ = 100 000 - (¹/₁₀₀
* 25) = ¹/₄

A₂ = 100 000 - (¹/₅₀ * 25) = ¹/₂

A₃ = 100 000 - (¹/₂₅ * 25) = 1

A₄ = 100 000 - 2*(^A₃/₂₅ * 25) = 2*(¹/₂₅*25)
= 2*1 = 2^4-3

A₅
= 100 000 - 2*(^A₄/₂₅ * 25) = 2*(^2*1/₂₅*25)
= 2*2*1 = 2^5-3

A₆ = 100 000 - 2*(^A₅/₂₅ * 25) = 2*(^2*2*1/₂₅*25)
= 2*2*2*1 = 2^6-3

...

A_n = 100 000 - ^2n-3/₂₅

Fórmula para la ganancia de mustafá

Sea P(n) = 100 000 - 2^n-3/25
y S = {n ∈ IN / P(n) es cierto}

1. ¿1 ∈ S?

A1 = 100 000 - 1/100 = 99999.99

n=1= 100 000 - 2^1-3/25 = 99999.99

.: 1 ∈ S

2. Sup.que se cumple para n = K es
   decir:

100 000 - 2^k-3/25

3. Sup.que se cumple para n = K es
   decir:

100 000 - 2^(k+1)-3/25
= 100 000 - 2^k-2/25



Tenemos:

A_k+1

= 100 000 - 2^k-2/25

= 100 000 - 2^(k+1)-3/25

= 100 000 - 2^k-2/25

.: S = IN

Ingreso que percibe Salán

Semana1:
$700 000

Semana2: $1 400 000

Semana3: $2 100 000

Semana4: $2 800 000

Semana5: $3 100 000

Ingreso que percibe Mustafá

Semana1:
$0.64

Semana2: $81.92

Semana3: $10 485.76

Semana4: $1 342 177.28

Semana5: $10 737 418.24

En este caso Mustafá recibe más dinero que Salám, la diferencia es un poco más
al triple de lo que recibe Salám.

Referencia
de ayuda

www.fing.edu.uy/imerl/matdisc1/MD12008/Fibonacci.ppt